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9が無限に続く小数

数学において、小数点以下の各位にすべて9が並ぶ循環（十進）小数 0.999... が実数を表すものならば、それはちょうど 1 に等しい。循環小数としての 0.999... は循環節の明確化のために

${\displaystyle 0.{\overline {9}}=0.{\underline {9}}=0.{\dot {9}}=0.(9)}$

などとも記される

数は広く十進記数法で表され、任意の実数はその十進小数展開という数字の羅列によって捉えることが行われる。この枠組みにおいて、「循環小数 0.999...」によって「表される実数」を考えることができるが、これは寸分違わずちょうど 1 に等しい。つまり、"0.999..." と"1" という別の文字列は同じ数に対応する。この証明は、どの程度数学的に厳密であるかということまで含めて、複数の方法で説明することができる。

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三平方の定理の単純にして華麗な証明。

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${\displaystyle 1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\cdots }}}}}}}}}}}}}}}$

なる連分数で表されたこの数は何でしょう。

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